在
某邻域内存在直至
阶的连续导数，则有：
，
这里
为拉格朗日余项，
，其中
在
与之间。上式称为函数按
的幂展开的带拉格朗日型余项的
阶泰勒公式。特别的，当=0时，上式变成
，
称此式为(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式。
2.带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式
若函数在存在阶导数，则有：
这里
为皮亚诺余项。上式称为函数按的幂展开的带皮亚诺型余项的阶泰勒公式。特别的，当=0时，上式变成
，
称此式为(带有皮亚诺型余项的)麦克劳林公式。